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Author: Nebu1ea

docs/learn/crypto.md

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+titleTemplate: ':title | 快速入门 - NewStar CTF'
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+# 密码学
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+## 密码学是什么
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+人话：一种用来研究如何加密来保护信息，如何解密获取信息的学问。
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+## 为什么学密码
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+可以了解 开创并实现现代密码学的RSA算法、未来将抵御量子计算机的格密码等的“后量子密码技术”，以及学到在特殊情况下我们用现代计算机来破解特定的RSA现代密码和后量子密码技术的攻击手段。
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+密码有清晰的路线学习
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+<img src="https://gitee.com/saga131/mypic/raw/master/img/现代密码.png" alt="现代密码" style="zoom:200%;" />
+
+干脆的做题反馈（就跟数学题一样，会就是会，不会就是不会）
+
+或者说没有理由，当你入门密码学的时候，就会发现做密码题也会上瘾！
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+## 需要的工具
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+1. 电脑
+2. 软件：`yafu`，`python`，`笔记软件`
+3. 草稿纸和笔（随电脑携带的，经常需要演算关系式）
+4. 网站 [factordb.com尝试分解n](https://factordb.com/) 、 [探索商城 | NSSCTF](https://www.nssctf.cn/explore/workshop) 、 [RSA入门 | DexterJie'Blog](https://dexterjie.github.io/2024/07/15/非对称加密/RSA/) （大佬的博客，还可以听听歌）等等
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+## 学习路线
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+编程：python
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+1. 配置好python编译器和集成开发环境（`pycharm`或者`vscode`），`print("hello python world!")`
+2. 理解变量和变量类型，变量类型转换  `a = b'65537'  a = int(a)`
+3. 运算符号，赋值= ， 加减乘除 +-*/ ，整除 // ，比较大小 < > <= >= ，等于==，取模 %
+4. 基本语法
+5. 循环语句，布尔类型（真和假，1和0，True和False）
+6. python列表，数组
+7. pip install 安装`pycyptodome`和`gmpy2`包，模块导入
+8. 函数的使用，`pow（a,b,c）` 相当于 (a ** b)  %  c
+9. python各种进制的格式头（二进制0b，十六进制0x等等）
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+
+密码学
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+1. RSA公钥加密算法（推荐[探索商城 | NSSCTF](https://www.nssctf.cn/explore/workshop)，挺系统的）下面我也会简单介绍RSA公钥加密算法。
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+数学：
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+1. 理解模运算
+2. 逆元计算的运用（暂时不要求理解）
+3. 理解海纳百川的k和无所不能的公因数
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+
+
+## 开始学习！
+
+### （一）掌握一定语言基础
+
+​	首先建议学python，密码题经常出现很大的数字和较难的运算，靠手算很难得到答案，所以需要一门计算机语言来帮我们计算。而python是符合直觉的语言，对于新手而言没有过多的条条框框，所以推荐从python入门编程语言，了解一下知识点就行。掌握下面的除画红线的知识点。
+
+![图来自www.runoob.com](https://gitee.com/saga131/mypic/raw/master/img/image-20240730205109184.png)
+
+讲讲我个人学习python的经历：我一开始就买了本python的入门书籍开始啃，啃到后面for循环就开始做题了，一开始也不会做题，就看别人的writeup（行话解析：看看别人的思路，抄作业，但这是个好的行为，大伙开始都是看过来的），别人的wp（writeup的缩写）一般都会有python代码，就跟着打在自己的电脑上（建议不要直接复制粘贴），遇到不会的就上网搜索，一边学密码学，一边练编程技术。
+
+### （二）了解`rsa`算法（公钥加密算法）
+
+"毫不夸张地说，只要有计算机网络的地方，就有RSA算法。"  ——阮一峰
+
+#### 1.知识点
+
+- 元素
+
+​	RSA算法里面一共有 8个元素。
+
+```
+p : 一个素数。
+q : 另一个素数
+n : 由p 和 q 组成的 ， 一般为 n = p x q
+e : 一个被称为“公钥因子”的数。
+d : 一个被称为“私钥因子”的数。下面的公式会具体展现e和d的转化。
+phi : 一个与n有关，由p，q计算而得到的数。具体就是n的欧拉函数 ϕ(n) 。
+m : 明文，就是要保护的信息。
+c : 密文，就是要破解的信息。下面的公式会具体展现明文和密文的转化。
+```
+
+
+
+- 公式
+
+​	RSA算法中一共由如下公式
+
+​	1.加密公式
+$$
+c = m^{e} \pmod n
+$$
+​	2.解密公式
+$$
+m = c^{d} \pmod n
+$$
+
+
+​	3.e和d的关系式
+$$
+d = e^{-1} \pmod {phi}
+$$
+​	4.p和q是素数的情况下，n的欧拉函数phi
+$$
+phi = (p-1)*(q-1)
+$$
+​	5.n与p,q的关系式
+$$
+n = p*q
+$$
+​	6.大小关系
+
+​	
+$$
+m^e < n \\
+n \approx phi
+$$
+
+
+```
+	入门后可以尝试推导一下上面的公式，入门前只需要懂得如何在python中实现上面公式即可。
+```
+
+
+
+- 原理
+
+    - 解密原理
+
+    一般RSA算法加密会公开公钥n和e，信息传输难免会泄露密文c，所以我们可以得到的一共有三个元素n，e，c。从上面的解密公式可以知道我们需要密钥因子d，而计算d需要e和phi，e已知，求未知的phi又需要p和q，有关p和q的式子只有一个$n=p*q$ 
+
+    
+
+    因此解密的关键是在得到p和q
+
+    ![解密原理](https://gitee.com/saga131/mypic/raw/master/img/解密原理.png)
+
+    
+
+    - 难破解的原理
+
+        RSA算法开创了现代密码并实现了非对称加密，其中难破解的原理基于大整数分解。
+
+        ​	计算n = p*q简单，但由n分解出p，q
+
+        ​	手算 12 的因子，很快可以列出 [1,2,3,4,6,12]，但一旦上升到很大的整数，例如
+    
+        ```python
+        6969872410035233098344189258766624225446081814953480897731644163180991292913719910322241873463164232700368119465476508174863062276659958418657253738005689
+        ```
+
+        ​	就根本拆不开成两个数字。
+
+        
+
+    - 我们解题的原理
+
+        上面说到，n很难分解，那我们是靠什么来破解的呢？
+    
+        答：靠一个个特殊的情况，有时候出题人会给出泄露的d，或者p和q之间的关系让我们数学推导等等特殊情况。针对这一个个特殊情况，我们也有相应的攻击方法（如下）。
+
+​	![image-20240801121847541](https://gitee.com/saga131/mypic/raw/master/img/image-20240801121847541.png)
+
+​	
+
+
+
+
+
+- 数学基础
+
+    RSA中涉及到我们之前没有或者说不太重视的一些数学知识点，接下来我们一起来学习一下。
+
+    - 取模
+
+        ​	上面公式四个有三个都出现了一个英文单词 mod ，这可不是游戏中打mod的意思 ， 在数学中，这被称为 “模” ，数学符号是这个`%`，相信大家小时候都学过余，这个就是模。12除5余2的余。接下来讲一种新的观点，12在 $\mod 5$ 的世界中就是2 ，这个世界的数学范围是[ 0 , 5 ) 。
+
+        
+
+    - 模运算
+
+        ​	模运算和平时的运算基本上没有太大区别，只是在模运算中，我们人为的划定了一个集合[ 0 , n ) ，其中出现的数字都不会超过这个集合。模运算也可以实现等式左右两边交换，例如e和d的关系式也可以写成  $e*d = 1 \pmod n$ 。
+
+        ​	而运算符号加减乘除的除就有些变化了。上面的$e^{-1}$ 可以写成 $\frac {1}{e}$ ，也就是1除于e，但在模运算中不能直接除，
+
+        例如 $\frac {a+1}{b-1} \pmod n $ 要先求b的逆元 $(b-1)^{-1}$，再将这逆元$(b-1)^{-1}$与$(a+1)$相乘。
+
+        ​	在上面第三个公式 e和d的关系式中有$$d^{-1}$$,这涉及到模运算中求逆元，这点展开会涉及到其他数学知识，这里先放着不谈。只要记住在模运算中，没有除法，只有求逆元然后再相乘。具体的代码实现会在下面讲述。
+
+        
+
+    - 海纳百川的k和无所不能的公因数
+
+        ​	在上面的取模和模运算中，涉及到大量的$$\mod n$$ ，如何转化成可以手算推理的东西呢？
+
+        ​	答：$k*n$ 其中k是任意整数，例如  $12 \pmod 5 = 12 - 2*5$  其中的2就是k啦。
+
+        ​	我们之后会遇到一部分的数学推导题，出题人会给出有关p和q的关系式。草稿纸上推理处理完关系式后，经常能得到一个有关p或者q的式子$a = b \pmod p$，此时我们只需要将这个式子转化一下 $a = b+k_1*p$ 即  $k_1*p = a-b$ 求 `a-b`  和  `n` 的公因数就可以得到p了，因为$n = p*q$ 也可以看成 $ n = k_2*p$，而$k_1$一般不等于$k_2$ 所以就可以得到p。具体情况请见[羊城杯 2021Bigrsa](https://www.cnblogs.com/Clair-is-com/p/16470121.html) 共享素数。
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+​		
+
+
+
+
+
+- 计算机基础
+    -  把`“我喜欢密码学”`转化为`整数`——**编码**
+
+​		这看起来有点不可思议，文字和数字怎么联系在一起，但计算机上就可以，计算机底层是一堆二进制，只有0和1 。要想在屏幕	上展现文字，需要”编码“，编码将数字按照规定的表转换成对应的文字，常见的编码有ASCII表。
+
+![图来自www.runoob.com](https://gitee.com/saga131/mypic/raw/master/img/image-20240801123920601.png)
+
+有了编码，我们就能把想保护传输的信息转换成整数，再通过RSA算法加密计算得到密文c。
+$$
+c = m^{e} \pmod n
+$$
+
+
+#### 2.代码实现
+
+- 加密脚本（不需要掌握熟背，只用知道每一行是什么意思就行）
+
+```python
+# 导入Crypto.Util.number模块中的所有函数
+from Crypto.Util.number import *
+# 导入gmpy2模块，用于高性能的数学运算
+import gmpy2
+# 从秘密模块导入flag，通常这是CTF挑战中的隐藏信息
+from 秘密 import flag
+
+# 这是给出了flag的样式，并不是真正的flag，但已经提供了一些提示，有些题目会根据flag头来破解
+flag = b"saga131{******}"
+
+# 生成两个256位的质数p和q
+p = getPrime(256)
+q = getPrime(256)
+
+# 计算n，即p和q的乘积，用于RSA算法的模数
+n = p*q
+# 定义公钥指数e，通常为65537
+e = 65537
+# 将flag转换为长整数
+m = bytes_to_long(flag)
+
+# 使用gmpy2模块的powmod函数进行模幂运算，加密消息得到密文c
+c = gmpy2.powmod(m, e, n)
+
+# 打印模数n
+print(f'n = {n}')
+# 打印公钥指数e
+print(f'e = {e}')
+# 打印加密后的密文c
+print(f'c = {c}')
+# 打印质数p（通常在CTF中不会直接给出）
+print(f'p = {p}')
+# 打印质数q（通常在CTF中不会直接给出）
+print(f'q = {q}')
+"""
+# 以下是打印的结果，这些值通常在CTF挑战中给出
+n = 4024941574680124502316363981547051098032677531528457166859670261861728313081282635664023890534034586556845494323497683923813915739234466472396261320600483
+e = 65537
+c = 226967182640114431119923862488626190608050511354278604627242247124377735518111678279381846350389469161980779137969837090666693533616114290831130137310320
+p = 62658315832909660478685872111870233686035497063073558738980225214351386198939
+q = 64236351092062515945998729497153532140067861836088195242257976217499252460697
+"""
+```
+
+- 解密脚本（需要熟练掌握）
+
+```python
+# 导入Crypto.Util.number模块中的所有函数，用于处理数字和字节之间的转换等
+from Crypto.Util.number import *
+
+
+"""输入部分"""
+# 已知的模数n，用于RSA加密和解密
+n = 4024941574680124502316363981547051098032677531528457166859670261861728313081282635664023890534034586556845494323497683923813915739234466472396261320600483
+# 已知的公钥指数e，通常为65537
+e = 65537
+# 已知的密文c，需要被解密
+c = 226967182640114431119923862488626190608050511354278604627242247124377735518111678279381846350389469161980779137969837090666693533616114290831130137310320
+# 已知的质数p，用于计算私钥
+p = 62658315832909660478685872111870233686035497063073558738980225214351386198939
+# 已知的质数q，用于计算私钥
+q = 64236351092062515945998729497153532140067861836088195242257976217499252460697
+
+
+"""处理部分"""
+# 计算欧拉函数φ(n)，用于RSA算法中的私钥计算
+phi = (p-1)*(q-1)
+# 计算私钥指数d，即 e在模φ(n)的逆元
+d = inverse(e,phi)
+# 使用私钥指数d解密密文c，得到明文m    具体就是 m = c**d (modn)
+m = pow(c,d,n)
+# 将解密后的长整数m转换回字符串，得到原始的flag信息
+flag = long_to_bytes(m)
+
+
+"""输出部分"""
+# 打印解密后的flag信息
+print(flag)
+```
+
+
+
+## 以后的路
+
+​	入门RSA算法后，将跟着NSSCTF的工坊课程自主继续深造RSA，在这基础上一起学习AES对称加密、圆锥曲线算法、LCG流密码、格密码和DSA密码等等。
+
+
+
+## 写在最后的话
+
+密码路上道阻且长，希望兄弟们能坚持下去，必定能见到密码学的彩虹！